Abstracts Biological Sciences

Reaction-diffusion equations with membrane conditions describing tumor invasion : Équations de réaction-diffusion avec conditions de membrane décrivant l'invasion tumorale

by Giorgia Ciavolella

Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux. Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the…